回答:向量空间可以看作向量空间的子集,但子集本身也是封闭的。也就是说,如果任意两个向量在子空间里,那么它们也一定在这个子空间里,也在这个子空间里。因为数乘是闭的,所以向量一定包含在子空间中,所有子空间都应该包含向量。以常见的三维空间为例,向量本身一定是一个子空间,一条穿过原点的直线,或者一个平面就是一个子空间。当然,三维空间本身也可以看作是一个子空间,所以三维空间可以有四个子空间:所以简单来说,向量空间就是向量的集合,向量空间就是向量的集合,量子空间。这就是为什么向量空间也被称为线性空间。
A:这里是对线性空间的一个抽象描述,即满足数域上集合的加法和标量乘法两种运算,四则加法和四则乘法。也说明了线性空间在几何状态下可以称为集合空间。个人认为由N维向量组成的向量空间并不是直观的集合,但是很明显向量空间在一定情况下是线性空间的特例。这里,在袁老师的讲义中明确指出,线性空间的元素可以是向量,也可以是其他类型,需要满足集合和数域中定义的加法和标量乘法运算,外加八个运算性质。
A:也可以说这个向量空间是由这些向量生成的。反过来,这个向量空间称为这些向量的生成空间。比如向量组:U,V,W的等价向量组,如果有两个向量组,如果一个向量组中的每个向量可以用另一个向量组线性表示,那么这个向量组可以用另一个向量组表示。
答案:向量空间中向量组的线性组合是指向量的形式,其中。也称为向量组的线性表示。对于向量空间中的一个向量组,如果系数全为0,则称之为线性相关,否则为线性无关。