局部极值

局部极值意即相对极值(relative extremum)，今以连续且可微分之函数y＝y(x)为例，若于某处x＝x0，其函数值y(x0)大于或小于邻近诸点（x＝x0 ± ε，ε为一微小值）之函数值，则称函数y(x)于 x＝x0处出现相对极大值(relative maximum)或相对极小值(relative minimum)，通称相对极值或称局部极值。微积分学中证明，局部极值出现于y 函数之一次导函数为零的地方，即dy/dx＝0处。对应于相对极值有所谓的绝对极值(absolute extremum)或称大域极值(global extremum)，意谓其值于整个y 函数定义域(whole domain)内为极大值或极小值。在变分学(variation calculus)中，局部极值出现于函数一次变分为零之处。
有限元素法中，一个N 自由度之静态结构系统，其总势能(total potential energy)π包含结构变形能(deformation energy或strain energy) U及荷重势能(potential of load) V，可以下式表示：
上式中，qα为广义系统座标（位移），下注标α＝1, 2, … N表系统座标编号。由驻态总势能原理(principle of stationary potential energy)得知，结构系统之平衡位置必落于总势能π出现局部极值之处。意即总势能之一次变分等于零，为结构系统平衡之充要条件：
此处δ表变分号。由于系统位移之变分量δqα为任意值，不恆为零，故：
上式即为结构系统之系统方程式或称平衡方程式，解此N 元联立方程式可得其平衡位置qα，此时结构系统之总势能为局部极值。