无限小转换

无限小转换又称无限小接触转换(infinitestimal contact transformation)，此种转换所得的座标和原来的相差无限小。因为这个转换是无限小，所以所有相关的计算只要取到第一阶。而转换方程可以写成：
其中Qi及qi分别为新、旧座标；而Pi及pi则分别代表新、旧动量；δqi及δpi为座标及动量的无限小改变。很明显地转换的生成函数与相同转换的生成函数相差一个无限小的量：

其中F 为生成函数； 为相同转换的生成函数；ε为转换的一个无限小的参数；G(q, P)为座标与动量之任意函数。由此我们可以得到新座标与动量的转换为：
这个转换一个有趣的应用为：我们令生成函数G 等于系统的汉米顿H，同时令ε等于一个小时间间隔dt。座标及动量对应的无限小改变为
及
上列式子表示一个系统在时间间隔dt 的运动可以用一个由汉米顿为生成函数的无限小转换来描述。