因次理论

任何一种物理现象均会有若干个可以随意变动的物理量，称之为自变数；而另外也有随着这些自变数变动而改变的物理量，称之为因变数。一个因变数可以是许多个自变数的函数。因次理论（学说）是说，任何一个含有这样变数的因次平衡方程式，都可以简化之由一群变数无因次组(dimensionless groups)去表示其函数关係，此亦即是白金汉(1914)定理(Buckingham theorem)。此定理之动机，便是把原函数式的变数归纳到一项（或多项）乘积里去，将变数的个数减少，藉以最佳方法表示(best method of presentation)其函数关係。此定理遂成了因次分析的基本根据。
几个变数，由一定未知的变数方程式联繫起来，按白金汉定理，可以进一步把这个方程式另外用一个关係式表示之，而这个式子是(n－r)个完全的无因次积。n是原变数的数目，r在应用上，白金汉说是指各变数所一共包含的基本因次（如VTF制、LMT制）的个数而言。然而有时有混淆的情形，譬如在应力分析中，常用基本因次[F]与[L]两个因次，则r＝2；但是若用LMT制时，则因[F]＝[MLT-2]，则r＝3。所以白金汉的说法并不是一个绝对原则，而是一个不据学理的约计法(ruIt of thumb)，但是一般还是延用之，因其简迅。
1946年范德莱士(Van Driest)发表另一个计算无因次组的方法：即无因次组数目，是等于n去减掉全部变数中那些已经不能组成无因次组的变数数目。此说仍是抽象难用。然而倘若是另从数学观念方面来看，范氏所谓的「不能组合成无因次组的变数数目」，应该是这些变数的因次矩阵的阶(rank)。例如变数P, Q, R, S的因次矩阵为：
其三阶矩阵皆等于零，而二阶皆不等于零，所以上矩阵之阶为2。